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課程名稱 |
代數拓樸
Algebraic Topology |
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開課學期 |
108-1 |
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授課對象 |
理學院 數學系 |
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授課教師 |
齊震宇 |
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課號 |
MATH5338 |
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課程識別碼 |
221 U5940 |
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班次 |
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學分 |
3.0 |
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全/半年 |
半年 |
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必/選修 |
選修 |
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上課時間 |
星期二8,9(15:30~17:20)星期四2(9:10~10:00) |
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上課地點 |
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備註 |
教室：新數103
總人數上限：40人 |
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Ceiba 課程網頁 |
http://ceiba.ntu.edu.tw/1081ALGTOP |
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課程簡介影片 |
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核心能力關聯 |
本課程尚未建立核心能力關連 |
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課程大綱
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為確保您我的權利,請尊重智慧財產權及不得非法影印
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課程概述 |
本課程大致分成下列兩個部分：
1. 基礎部分
我們將探討拓樸空間的奇異同調（singular homology）與上同調（cohomology）的性質與計算方法，以及如何利用這些不變量得出一些與連續映射有關的推論。這部分課程的目的在於培養在實際例子當中實踐抽象理論計算與應用的能力，並為了學習抽象的同調代數與代數拓樸理論提供部分動機。
2. 進階部分
阿貝爾範疇（abelian categories）上的同調代數、層（sheaves）與層的上同調理論
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課程目標 |
1. 單體同調群（simplicial homology groups）的計算範例，鍊複體（chain complexes）的同調群及其導出長正合列（induced long exact sequences）
2.（相對）奇異同調群及其同倫不變性（homotopy invariance）
3. Acyclic 模型定理及單體同調群與奇異同調群的一致性
4. 細分與 Mayer-Vietoris 序列
5. Brouwer 不動點定理、 Jordan 分離定理
6. 單體複形（simplicial complex）與同調
7. Lefschetz 不動點定理
8. 上同調、萬有係數定理（the universal coefficient theorem）、 Künneth 定理。
9. 同調/上同調的乘法結構
10. Poincare-Alexander-Lefschetz 對偶定理
11. 球叢（sphere bundles）與 Thom 同構
12. 拓樸相交理論（intersection theory）
13. 特徵類（characteristic classes）
14. 阿貝爾範疇（abelian category）上的同調代數、譜序列（spectral sequences）
15. 層（sheaf）的概念與層的上同調
16. （若時間允許）導出範疇（derived category）、導出函子、Verdier 對偶定理 |
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課程要求 |
1. 點集拓樸
我們假設聽眾熟悉拓樸空間與連續映射的基本性質，例如下列參考資料[2]之第 I 章除第 6、15 及 17 節外之內容。大致相當地，聽眾也可以參考連結
https://www.youtube.com/playlist?list=PLil-R4o6jmGhUqtKbZf0LIFKd-xN__g_M
當中標題為【點集拓樸簡介】的影片1至12。
2. 交換代數
可換環及其上之模，張量積（tensor product）與局部化（localization/fraction modules）等概念，例如 Atiyah 與 MacDonald 合著之 Introduction to Commutative Algebra 第 1 至 3 章)。
3. 課程第一階段中關於奇異同調的部分（上列課程目標欄位中1至7項）
我們預設聽眾已預先觀看我在2012年拍攝的「TIMS講座－代數拓樸－齊震宇老師主講」中從2012.09.10至2012.11.15的所有影片（在YouTube上搜尋「代數拓樸」應該就能找到），實際授課時不會重新講授這些內容。另外，開學兩週內將舉行期初考檢驗這部分的預習成效，視情況得不予選修。期初考的題目有可能會提前在本網頁上公佈，請有興趣選修的同學多留意。
4. 流形（manifold）的基本概念
課程的後半段將會有不少與拓樸流形、光滑流形有關的討論，聽眾可以參考連結
https://www.youtube.com/playlist?list=PLil-R4o6jmGhkuZPmKL_A5Y7N4HOsa1nX
當中標題為【可微流形簡介】的影片1至8，以及【光滑函數的基本性質】1至3。
5. 抱持開放的心態，隨時迎接不熟悉的概念。 |
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預期每週課後學習時數 |
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Office Hours |
另約時間 備註： 於課堂上討論後決定。 |
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指定閱讀 |
Spanier, Algebraic Topology |
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參考書目 |
[1] Jean Dieudonne, A History of Algebraic and Differential Topology, 1900-1960
[2] Raoul Bott and Loring Tu, Differential Forms in Algebraic Topology
[3] Glen E. Bredon, Topology and Geometry
[4] Birger Iversen, Cohomology of Sheaves
[5] Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Sheaves on Manifolds
[6] Edwin H. Spanier, Algebraic Topology
本課程第一部分主要選材自[6]之第4至第7章與[3]之第IV至第VII章。 |
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評量方式
(僅供參考) |
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No. |
項目 |
百分比 |
說明 |
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1. |
課後作業 |
30% |
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2. |
期初考 |
0% |
我們預設聽眾已預先觀看我在2012年拍攝的「TIMS講座－代數拓樸－齊震宇老師主講」中從2012.09.10至2012.11.15的所有影片（在YouTube上搜尋「代數拓樸」應該就能找到），實際授課時這些內容會很快地帶過。另外，開學兩週內將舉行期初考檢驗這部分的預習成效，視情況決定准予或不予選修。期初考的題目有可能會提前在本網頁上公佈，請有興趣選修的同學多留意。 |
3. |
期中考試 |
30% |
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4. |
期末口頭報告及其書面報告 |
40% |
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